- Престолонаследие 1
- Престолонаследие 2
- Зеркальный лабиринт
- Пять спортсменов
- Мельница
- Глебусы
- Четыре спортсмена
- Строки
- Таблица квадратов
- Калькулятор
- Лабиринт
- Фрукты
- Вкусные конфеты
- Проблемы с двигателями
- Шифровка
- Полёт на игру
- Ледяные кристаллы
- Компьютерная игра
- Миша в комнате
- Числовой шифр
- Дети любят фрукты
- Квадрат
- Склад
- Стражники
- Ремонт дороги
- Слова
- Олимпиада
Престолонаследие 1
В Великой Битании на протяжении многих лет формой правления является абсолютная монархия. Согласно Акту о Престолонаследии, в случае кончины монарха главой государства становится старший по возрасту из его детей. Линия наследования включает потомков лица по нисходящей линии, за которыми следуют его младшие братья и сёстры в порядке старшинства.
Установите текущий порядок престолонаследия в этой стране для всех его потомков. Ниже в 10 строках перечислены записи о здравствующих лицах королевской крови:
Имя монарха или наследника | Год рождения | Имя родителя
Piers |1980| Amelia
Amelia |1957 |Ada
Conall| 2007| Piers
Ada| 1939 |Lord*
Ewan| 2007| Olivia
Fergus |1963| Ada
Gladys| 2017| Ellis
Olivia |1969| Ada
Edith |2005 |Piers
Ellis |1996 |Olivia
*Записью Lord в столбце «Имя родителя» обозначен текущий правитель.
Установите соответствие между перечисленными лицами и числами, обозначающими их порядок в очереди на престол.
Пример
Для следующего набора из 8 записей (левый столбец) при главе государства Elizabeth ответ будет таким (правый столбец):
Данная схема иллюстрирует родительские связи между перечисленными лицами.
- Piers
- Amelia
- Conall
- Ada
- Ewan
- Fergus
- Gladys
- Olivia
- Edith
- Ellis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Престолонаследие 2
В Великой Битании на протяжении многих лет формой правления является абсолютная монархия. Согласно Акту о Престолонаследии, в случае кончины монарха главой государства становится старший по возрасту из его детей. Линия наследования включает потомков лица по нисходящей линии, за которыми следуют его младшие братья и сёстры в порядке старшинства.
В настоящее время главой государства является Pavel, у него первый номер в линии престолонаследия. Установите текущий порядок престолонаследия в этой стране для всех его потомков.
Ниже в 5 строках перечислены записи о здравствующих лицах королевской крови:
Имя монарха или наследника | Год рождения | Имя родителя
Catherine |2002 |Nicholas
Petr |2022 |Ivan
Nicholas |1973| Pavel
Alexander| 1965| Pavel
Ivan |2001 |Nicholas
Установите соответствие между перечисленными лицами и числами, обозначающими их порядок в очереди на престол. Учтите, что нумерация следующих наследников после Pavel начинается с числа 2.
Пример
Для следующего набора из 8 записей (левый столбец) при главе государства Elizabeth ответ будет таким (правый столбец):
Данная схема иллюстрирует родительские связи между перечисленными лицами.
- Ivan
- Catherine
- Alexander
- Petr
- Nicholas
2
3
4
5
6
Зеркальный лабиринт
Имеется тёмное пространство‑лабиринт, разделённое на единичные квадраты. Каждый квадрат определён своими номерами строки и столбца (координатами), нумерацию которых будем производить с нуля. В некоторых квадратах пространства имеются двусторонние отражающие поверхности (зеркала). Каждое из этих зеркал имеет одну из двух возможных ориентаций под углом в 45 градусов к сторонам квадрата, в котором оно находится. В одном из квадратов на стороне лабиринта находится источник направленного света (лазер) в другом квадрате на стороне лабиринта располагается детектор, в который этот луч должен попасть. При попадании на отражающую поверхность (зеркало) луч меняет своё направление, производя поворот на 90 градусов. На рис. 1 представлен пример такого лабиринта и путь луча в нём при неизменной ориентации зеркал. Луч может пересекать себя под углом 90 градусов без каких‑либо последствий. Лабиринт ничем не огорожен, поэтому луч просто покидает его, если достигает границы.
Разрешено изменить положение ровно одного зеркала на противоположное. Необходимо сделать это так, чтобы луч попал в детектор. Например, для лабиринта с рис. 1 имеется ровно два способа сделать это. Можно поменять ориентацию зеркала в квадрате из первой строки и первого столбца (рис. 2), либо поменять ориентацию зеркала в квадрате из первой строки и четвёртого столбца (рис. 3). Обращаем внимание, что на рис. 3. видно, что зеркала двусторонние, то есть отражают обеими поверхностями. В обоих случаях видно, что луч попадает в детектор. Других способов достичь цели поворотом ровно одного зеркала в этом примере нет. Таким образом, для этого примера ответ состоит из двух вариантов поворота какого-нибудь ровно одного зеркала.
Необходимо найти как можно больше вариантов клеток, поворот зеркала в которых даёт попадание луча в детектор. Для каждого способа нужно вывести в отдельную строку два числа через пробел: номер строки и номер столбца квадрата, в котором нужно поменять ориентацию зеркала. Квадраты можно выводить в произвольном порядке. Менять местами номер строки и номер столбца нельзя, так как тогда получится обозначение для другого квадрата. Полным ответом для лабиринта с рис. 1 будет любой из двух следующих:
1 1
1 4
либо
1 4
1 1
Пример
Чтобы получить баллы за задачу, требуется для заданного на рис. 4 лабиринта привести координаты клеток, для которых изменение ориентации ровно одного зеркала обеспечит попадание луча от лазера в позиции (10,0) в детектор в позиции (0,10). Чем больше правильных способов вы найдёте, тем лучше.
Кубик
У Тимофея есть привычка — в минуты задумчивости он перекатывает по столу свой любимый игральный кубик.
На рисунке показана начальная позиция кубика и его положения после одного переката через одно из нижних рёбер в четырёх направлениях. Перемещение вперёд обозначим символом F, назад — B, влево — L, вправо — R. Количество перекатов в указанном направлении будем писать сразу после символа.
Например, F1 обозначает, что Тимофей перекатил кубик вперёд один раз, а L21 — влево двадцать один раз. Мальчик обычно перекатывает кубик в разных направлениях, поэтому эти описания можно объединить в последовательности. Так, R1 F7 B10 означает, что кубик (не отрывая от стола) один раз перекатили вправо, семь раз вперёд и десять раз назад.
Также дана развёртка кубика Тимофея.
Определите, какое число окажется сверху на кубике Тимофея после указанных последовательностей действий. Перед началом нового набора команд мальчик возвращает кубик в исходное положение (как на рисунке в центре).
- F3:
- L1 F1 R1 B1:
- F100 B98 R100 L98:
- F589 L360 B125 L80 B543 F266 R753:
Пять спортсменов
На соревнования прилетела группа спортсменов: биатлонист, хоккеист, фигурист, сноубордист и бобслеист, однако авиакомпания потеряла их багаж: рюкзаки чёрного, красного, жёлтого, зелёного и белого цветов. Через день багаж был найден, и его отправили в олимпийскую деревню. Из-за путаницы в документах точный адрес каждого из спортсменов неизвестен, но охранник подсказал следующее:
В домах с чётными номерами проживают те спортсмены, для которых коньки являются обязательным атрибутом их вида спорта; у одного из них рюкзак чёрного цвета;
Рядом с последним домиком стоят сани;
В 1 и 2 домах проживают владелец лыж с винтовкой и владелец жёлтого рюкзака;
В 1 и 3 домах живут биатлонист и владелец белого рюкзака;
В 4 и 5 домах проживают фигурист и владелец красного рюкзака.
Определите, в каком доме живёт каждый из спортсменов и какой у них багаж.
Мельница
На мельницу поступил заказ на обработку зерна.
Работникам необходимо подготовить и отправить один ящик с 130 кг зерна. Отмерьте зерно, используя 4 ящика, в которые помещается 150, 90, 80 и 30 кг. Ящики вместимостью 150, 80, 30 кг полные, а ящик вместимостью 90 кг пуст. Разрешается пересыпать зерно из одной ёмкости в другую, пока в первой не кончится зерно или второй ящик не заполнится целиком.
От вас требуется составить как можно более короткий алгоритм действий работников мельницы. Обозначим ящики вместимостью 150, 90, 80, 30 кг буквами A, B, C, D соответственно. Для записи алгоритма используются команды вида X>Y (вместо X и Y должны быть два различных символа из A, B, C, D), которые означают, что из ящика X происходит пересыпание зерна в ящик Y. Например, следующая последовательность команд
D>B
A>D
C>A
означает, что из ящика вместимостью 30 кг пересыпают зерно в ящик на 90 кг, затем из ящика на 150 кг зерно отсыпается в ящик на 30 кг, затем из ящика вместимостью 80 кг отсыпается зерно в ящик на 150 кг. После такой последовательности мы имеем вид 150 30 50 30 по всем ящикам.
Чем меньше шагов будет в вашем алгоритме, тем лучше. Ещё раз подчеркнём условие: вам необходимо отмерить один ящик.
Глебусы
Глеб очень любит математические ребусы и числа.
Сначала Глеб выписывает некоторое слово (или просто случайный набор букв) себе в тетрадь. Затем он заменяет буквы на цифры от 0 до 9, соблюдая следующие правила:
Одинаковые буквы заменяются на одинаковые цифры;
Разные буквы заменяются на разные цифры;
Получившееся после всех замен число должно делиться на три.
Например, слово «ДЕД» Глеб мог бы заменить на число 141, но не на 147 (противоречит первому правилу), 111 (второму) или 142 (третьему). Конечно, для каждого слова существует великое множество способов заменить буквы на цифры, поэтому Глебу интересно, какое максимальное число у него может получиться в итоге. Так, слово «ДЕД» может быть превращено и в 747, и в 252, и во много что ещё, но можно доказать, что максимально возможным результатом является число 969. К сожалению, Глебу не всегда удаётся определить такое число, поэтому он попросил вас о помощи.
Ниже дан список из 10 слов, для каждого из которых нужно дать ответ, какое число может быть получено из него описанными заменами.
Ы
УХ
МДА
БЕДА
АХАХА
ГЫГЫК
ЩЯЧЛО
ОНЕНЕЕ
ГОРГОРОД
БИОИНФОРМАТИКА
Четыре спортсмена
На соревнования прилетела группа спортсменов: биатлонист, хоккеист, фигурист и сноубордист, однако авиакомпания потеряла их багаж: рюкзаки чёрного, красного, жёлтого и белого цветов. Через день багаж был найден, и его отправили в олимпийскую деревню. Из-за путаницы в документах точный адрес каждого из спортсменов неизвестен, но охранник подсказал следующее:
В домах с чётными номерами проживают те спортсмены, для которых коньки являются обязательным атрибутом их вида спорта; у одного из них рюкзак чёрного цвета;
В 1 и 2 домах проживают владелец лыж с винтовкой и владелец жёлтого рюкзака;
В 1 и 3 домах живут биатлонист и владелец белого рюкзака;
В 1 и 4 домах проживают фигурист и владелец красного рюкзака.
Определите, в каком доме живёт каждый из спортсменов и какой у них багаж.
Строки
Федя недавно научился программировать. Он написал программу, которая строит 9 строк по следующим правилам:
Строки нумеруются числами от 1 до 9;
В первой строке записана единственная цифра 1;
В каждой следующей строке без пробелов сначала записаны все цифры предыдущей строки, потом эти же цифры предыдущей строки, увеличенные на 1, а после них — номер этой строки.
Первые три строки выглядят так:
Вам не обязательно, как Феде, писать программу, которая строит такую последовательность. Достаточно просто ответить на 5 вопросов о ней:
- Запишите последние 10 цифр последней (девятой) строки.
- Найдите длину последней строки, то есть число цифр в ней.
- Сколько раз в последней строке встречается цифра 2?
- Сколько всего цифр во всех девяти строках?
- Какая цифра расположена в последней строке на 200 месте?
Таблица квадратов
На форзаце почти любого школьного учебника математики напечатана таблица квадратов двузначных чисел, похожая на приведённую ниже.
В этой таблице на пересечении строки с номером i и столбца с номером j записан квадрат двузначного числа, первая цифра которого i, а вторая j. Например, на пересечении 1-й строки и 2-го столбца записано число 144, которое является квадратом числа 12.
Арсений решил написать программу для построения такой таблицы. Помогите ему составить формулу для нахождения числа, расположенного в i-й строке (номер строки может быть от 1 до 9), j-м столбце (номер столбца может быть от 0 до 9). Например, при подстановке в вашу формулу вместо переменной i числа 1, а вместо переменной j — числа 2 должно получаться 144.
Формулой является некоторое выражение, которое может содержать целые числа, переменные i, j, операции сложения (обозначается «+»), вычитания (обозначается «-»), умножения (обозначается «*»), деления (обозначается «/») и круглые скобки для изменения порядка действий. Например, запись вида 2i для обозначения произведения числа 2 и переменной i неверна, нужно писать 2*i.
Пояснение
Писать программу не требуется, необходима только формула.
Операцию возведения в степень использовать нельзя.
Наличие пробелов внутри строки-выражения не имеет значения.
Пример правильного (по форме записи) выражения: i+(j/2−i)∗7.
Калькулятор
Как-то раз Тане в руки попал странный калькулятор. У калькулятора был экран, на котором изначально горело число 1, и две кнопки с надписями «+» и «–».
Поэкспериментировав с этим калькулятором, Таня поняла, что если нажать на кнопку «+», то число на экране увеличивается в 2 раза, а затем увеличивается ещё на 1. А при нажатии на кнопку «–» число на экране увеличивается в 2 раза, а затем уменьшается на 1.
Например, если Таня нажмёт на кнопку «+», когда на экране горит число 5, то значение сменится на 11 (5×2+1=11).
Если при том же исходном числе 5 она нажмёт на кнопку «–», то на экране загорится 9 (5×2−1=9).
Тане стало интересно, какую последовательность кнопок надо нажать, чтобы из числа 1, написанного на экране, получить числа 23 и 729.
Запишите последовательность из знаков «+» и «–», которая приведёт от числа 1 к числу 23:
Ответ
Запишите последовательность из знаков «+» и «–», которая приведёт от числа 1 к числу 729:
Ответ
Обратите внимание, что число 729 надо получать заново из 1, а не продолжать ту последовательность, которая привела к числу 23.
Примером правильного по форме записи ответа является следующая строка:
+−
Но эта строка не является правильным ответом на задачу, потому что в результате её выполнения получится число 5 ((1×2+1)×2−1=5).
(P.S. В таком же задании для 7-8 класса нужно записать последовательность для получения числа 27 от 1; для получения числа 739 от 1)
Лабиринт
Маше подарили на день рождения вертикальный лабиринт, в который можно кидать шарики. На каждом разветвлении в этом лабиринте стоит вертушка:
Эта вертушка позволяет шарику продолжить движение по правому или левому пути, при этом меняя своё состояние на противоположное. Например, на картинке выше вертушка позволит шарику продолжить движение влево и повернётся так, что следующий падающий на неё шарик продолжит движение вправо.
В лабиринте Маши есть четыре таких разветвления. Пройдя по лабиринту, шарик может покинуть его через один из пяти выходов, обозначенных буквами А, Б, В, Г, Д.
Маша по очереди бросает в лабиринт 5 шариков. Определите, через какой выход каждый из них покинет лабиринт.
- Первый шарик
- Второй шарик
- Третий шарик
- Четвёртый шарик
- Пятый шарик
Выход А
Выход Б
Выход В
Выход Г
Выход Д
Фрукты
Мама принесла из магазина четыре фрукта: яблоко (Я), грушу (Г), ананас (А) и банан (Б). Петя решил расположить эти фрукты в порядке увеличения их веса. Для взвешивания фруктов Петя использует чашечные весы, которые показывают, какой из фруктов тяжелее, а какой легче. Петя точно знает, что все четыре фрукта имеют разный вес. Он произвёл три взвешивания, результаты которых приведены на рисунке:
Как вы видите, результатов этих взвешиваний недостаточно, чтобы точно определить порядок расположения фруктов. Перечислите все варианты расположения фруктов в порядке увеличения веса, удовлетворяющие результатам всех представленных взвешиваний.
Каждый ответ должен содержать последовательность из русских букв Я, Г, А и Б, расположенных в порядке возрастания весов соответствующих фруктов.
Пример
Ответ БАГЯ — правильный по форме записи строки, но неверный с содержательной точки зрения, потому что в нём более тяжёлый банан расположен раньше более лёгкого ананаса.
Напишите максимально возможное количество правильных последовательностей фруктов.
Вкусные конфеты
Когда проблема с двигателями была решена, а спортсмены заселились в гостиницу, Стеф предложил своей команде подарить тренеру пакет конфет, чтобы тот не нервничал во время матча. Его друзья захотели, чтобы количество конфет тренер определил сам. Для этого игроки ведущей пятёрки подарили ему несколько карточек с числами, а капитан сообщил волшебное число, изначально равное 0. Для игры тренеру необходимо вытягивать карточки и к каждой из них применять одно из двух действий на выбор:
Увеличить волшебное число на значение, записанное на карточке,
Взять столько конфет, сколько составляет произведение числа на карточке и текущего значения волшебного числа. Вытягивать карточки можно в любом порядке, но использовать каждую карточку разрешено только один раз. Какое наибольшее количество конфет сможет получить тренер?
Даны 3 набора карточек и информация о числах на них. Заполните таблицу.
Номер набора Числа на карточках Максимальное количество конфет, которое может получить тренер
1 2 3 4 5 6
2 2 3 4 5 6 7
3 2 3 4 5 6 7 8
Пример
Если в какой-то момент волшебное число равно 4, и тренер захочет вытянуть карточку 3, он может либо сделать волшебное число равным 7, либо взять 12 конфет, а волшебное число останется прежним.
Проблемы с двигателями
Из-за ошибки диспетчера в аэропорту самолёт взлетел, будучи не полностью заправленным. В полёте обнаружилось, что при работе всех двигателей топлива может не хватить. Техники объяснили, что если часть двигателей заглушить, то самолёт сможет долететь до нужного аэропорта, минуя вынужденную посадку для дозаправки. Нельзя останавливать работу крайних двигателей, а также двух и более подряд расположенных двигателей, так как это приведёт к потере управляемости самолёта.
Пилоты затруднились подсчитать, какие же двигатели лучше всего остановить, и позвали на помощь умудрённого головоломками Стефа. При этом пилоты были не до конца уверены в технических характеристиках собственного самолёта, поэтому на всякий случай предоставили ему несколько схем потребления топлива двигателями.
Для каждого примера выведите минимально возможное суммарное потребление топлива.
Номер примера Потребление двигателей, единиц топлива Суммарное минимально возможное потребление оставшихся двигателей
1 5 3 4 2 3
2 1 6 3 2 5 8
3 4 6 7 5 6 7 1 2 8
4 2 5 3 5 3 4 7 3 8 4 9 6 7
Пример
Допустим, двигатели потребляют 1,4,5,2,6 и 3 единицы топлива соответственно.
Если мы заглушим двигатели с расходом 5 и 6, то самолёт долетит на остальных двигателях.
Потребление оставшихся двигателей равно 1 4 2 3, что в сумме даёт 10.
Шифровка
Пока команда ожидала вылета, тренер захотел, для разнообразия, дать подопечным умственную нагрузку вместо физической, ведь баскетбол — очень интеллектуальная игра. Тренер использовал оригинальную головоломку: зубчатое колесо из 10 цифр, к которому с двух сторон прикреплены другие колеса с гласными и согласными буквами. Такой головоломкой тренер шифрует сообщения, состоящие из одинакового количества гласных и согласных букв. При вращении колеса с цифрами по часовой стрелке колеса с буквами вращаются против часовой стрелки.
При остановке колеса на какой-то цифре она записывается в шифр, а выбранные указателями буквы записываются в сообщение. Сначала фиксируется согласная буква, находящаяся на правом колесе, а затем — гласная буква, находящаяся на левом колесе. Если колесо сделало полный оборот, но ни одна пара букв выбрана не была, то в сообщение записывается — (тире). Помогите Стефу и его напарникам дешифровать сообщение, если тренер им передал шифр 4365.
Ответом на данную задачу является строка, записанная заглавными буквами.
Полёт на игру
Баскетбольная команда «Воины золотого штата» вот-вот должна вылететь на игру с командой «Востон Келтикс». Двум игрокам Стефу и Дреймонду достались в самолёте места A и B соответственно. При этом A<B, A кратно K — количеству кресел в ряду. Заняв места, они увидели, что сидят друг от друга через проход. Всего в каждую сторону от прохода в ряду K кресел, а общее количество мест кратно 2. Игрокам стало интересно, достаточно ли в самолёте мест для того, чтобы поместилась вся баскетбольная команда. Помогите им в этом, если известно, что согласно правилам нумерации билетов сначала нумеруются все места слева от прохода, а затем справа.
Составьте формулу, помогающую это посчитать.
Ответом на данную задачу является строка, в которой записана формула подсчёта количества мест в самолёте. Выражение может содержать целые числа, переменные A, B и K (обозначаются соответствующими английскими буквами), операции сложения (обозначаются +), вычитания (обозначаются -), умножения (обозначаются *), деления (обозначаются /) и круглые скобки. Запись вида 2A для обозначения произведения числа 2 и переменной A некорректна, нужно писать 2 * A.
Если вы не знаете формулы, вместо неё следует написать число «0» (без кавычек).
Пример правильной формы записи ответа:
(A + B − 1) ∗ K + A
Пример
Для текущих K, A и B, равных 3,6,16, справедливо следующее расположение мест:
Ледяные кристаллы
В замке Снежной королевы Кай выращивает льдинки на клетчатом поле, содержащем 100 строк и 100 столбцов. В первый день эксперимента Кай положил маленький кусочек льда высотой 1 в начальную клетку на пересечении первой строки и первого столбца. На второй день ледяной кристалл начал увеличиваться и прорастать на соседних клетках.
Рост кристалла в каждый из дней подчиняется следующим правилам:
если в клетке уже есть кристалл, то он увеличивается на высоту, равную количеству соседних клеток с кристаллами;
если в клетке ещё не пророс кристалл, то он сразу там появляется. Высота появившегося кристалла в этой клетке равна количеству соседних по сторонам клеток, в которых находятся кристаллы.
Кристаллы очень хрупкие, и могут сломаться под собственным весом. Если в какой-то момент высота кристалла в клетке, расположенной на пересечении строки X и столбца Y, превысит H, то весь кристалл сломается.
Кай внимательно следит за экспериментом и хочет знать номер дня, когда льдинка сломается.
Пример
В первый день Кай поставил кристалл на поле в начальную клетку. Он знает, что кристалл сломается, если в клетке на пересечении третьей строки и третьего столбца высота кристалла превысит 1. Рассмотрим рисунок.
В первый день у начальной клетки не было «соседок» с кристаллами, поэтому во второй день кристалл в начальной клетке не увеличился по высоте. Зато в клетках, соседних с начальной, появились кристаллы высотой 1. Рост кристалла продолжался в 3, 4 и 5 дни. В пятый день в клетке ячейке на пересечении третьей строки и третьего столбца появился кристалл высотой 2. Поэтому в этот день весь кристалл сломался. Ответ для примера — 5.
Кай провёл серию экспериментов с различными ледяными кристаллами. Укажите ответы для каждого из них.
В первом эксперименте кристалл разрушается, если его высота в ячейке на пересечении первой строки и первого столбца превысит 21.
Число
Во втором эксперименте кристалл разрушается, если его высота в ячейке на пересечении 15-й строки и 1-го столбца превысит 31.
Число
В третьем эксперименте кристалл разрушается, если его высота в ячейке на пересечении 50-й строки и 50-го столбца превысит 10.
Число
Компьютерная игра
Миша недавно начал играть в «ducktorio» — в этой игре нужно передвигаться по скалистой местности, используя машину-разрушитель. Если машина-разрушитель бьёт по скале, то высота этой скалы уменьшается на 2, а также уменьшаются на 1 высоты соседних скал. Если нанести удар по уже уничтоженной скале, то на 1 уменьшаются высоты соседних скал.
На первом уровне игры перед разрушителем появились скалы с высотами: 5 9 3 7 5. Определите минимальное количество ударов, которое позволит Мише избавиться хотя бы от 2 скал.
Число
На втором уровне игры появились скалы с высотами: 5 4 7 4 8 6 3. Определите минимальное количество ударов, которое позволит избавиться хотя бы от 2 скал.
Число
На третьем уровне появились скалы с высотами: 5 6 7 8 8 7 6 5. Определите минимальное количество ударов, которое позволит избавиться хотя бы от 3 скал.
Число
Миша в комнате
Комната Миши имеет форму прямоугольника длиной A и шириной B. На уборку комнаты он выделяет D дней. Наводит чистоту Миша следующим образом: сначала выбирает какое‑то число X, а затем каждый день убирает ровно один квадрат в комнате размером X×X по своему усмотрению. Квадраты могут накладываться друг на друга. Однажды Миша задумался: какое наименьшее число X он может выбрать для того, чтобы убрать всю комнату, потратив на это D дней?
Пример
Допустим, Мишина комната представляет собой прямоугольник длиной 6 и шириной 6, изображённый на рисунке.
Из рисунка видно, что он может убрать комнату за 4 дня. Каждый день он убирает выделенный каким‑либо цветом квадрат размером 3×3. Это минимальный размер квадрата, необходимый для того, чтобы убрать всю комнату в отведённое количество дней.
Миша хочет получить ответ для трёх комнат своей квартиры, для каждой из которых известны её размеры и количество дней, выделенное на уборку. Запишите в таблицу целочисленные значения X для этих комнат.
Длина Ширина Количество дней Значение X
4 4 4
8 16 8
12 15 6
Числовой шифр
Даня узнал новый способ шифрования слов. Для этого он берёт буквы в слове и выписывает подряд их порядковые номера в латинском алфавите без пробелов и каких‑либо других разделяющих знаков (буква A имеет номер 1, буква B имеет номер 2 и так далее до буквы Z, имеющей номер 26). Результатом этого шифрования является какая-то последовательность цифр.
Даня зашифровал какое-то слово и передал получившуюся последовательность цифр своему другу Мише. Тот знает, что при таком шифровании некоторые различные слова могут давать одинаковую последовательность цифр. Миша хочет выяснить, из каких слов могла получиться заданная последовательность цифр.
Шифр, получившийся у Дани: 123234345456.
Используя данную информацию, определите все слова, при шифровании которых получится та же самая последовательность, что и у Дани. В этой задаче словом считается любая последовательность букв (т.е. ABC — это тоже слово).
Ответом на данную задачу являются слова, записанные заглавными буквами. Каждое слово указывается в отдельной строке, порядок не важен.
Пояснение
Рассмотрим пример. Для шифра «222» подходят три слова:
- BBB
- BV
- VB
Для решения задачи вам может потребоваться латинский алфавит с указанием номеров букв.
A B C D E F G H I J K L M
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
N O P Q R S T U V W X Y Z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Дети любят фрукты
В отряде N детей. Вожатому Мише надо раздать детям фрукты на полдник так, чтобы каждый из детей получил хотя бы одно яблоко и хотя бы одну грушу. Ребёнок доволен, если у него больше яблок или груш, чем у каждого другого ребёнка из отряда. Найдите минимальное суммарное количество фруктов, которое Мише необходимо раздать, чтобы все дети остались довольными.
Пример
Допустим, Мише надо раздать фрукты трём детям. Он может дать первому ребёнку 3 яблока и 1 грушу, второму рёбенку — 1 яблоко и 3 груши, третьему рёбенку — 2 яблока и 2 груши.
У первого ребёнка больше яблок, чем у других детей. У второго больше груш, чем у других детей. У третьего больше яблок, чем у второго, и больше груш, чем у первого. Все дети остались довольны. Всего Мише потребовалось 12 фруктов — это минимальное количество фруктов.
Найдите ответ, если известно, что в классе учится 4 ребёнка (N=4).
Квадрат
Дан квадрат со стороной a. Каждую его сторону разделили на n≥2 равных частей. Для каждой вершины квадрата взяли ближайшую к ней точку разделения в порядке обхода по часовой стрелке. Выбранные точки соединили между собой так, что получился четырёхугольник, вершины которого лежат на сторонах исходного квадрата. Найдите площадь образовавшейся фигуры. На рисунке приведён пример, когда n=4.
Ответом на эту задачу является некоторое выражение, которое может содержать целые числа, переменные a и n (обозначаются соответствующими английскими буквами), операции сложения (обозначаются +), вычитания (обозначаются -), умножения (обозначаются *), деления (обозначаются /) и круглые скобки. Запись вида 2a для обозначения произведения числа 2 и переменной a некорректна, нужно писать 2 * a. Для возведения значения в квадрат нужно использовать умножение, например, выражение a2 нужно записать как a * a.
Ваше выражение должно давать правильный ответ для любых значений a и n (n≥2).
Пример правильной формы записи ответа:
a * (2 * n — a / 2)
Склад
На складе имеется 8 ящиков видов «A», «Б», «В», «Г», по два ящика каждого вида. Ящики распределены на 4 стопки, пронумерованные числами от 1 до 4. Первоначально в стопке 1 ящик A стоял на ящике В, в стопке 2 — ящик Б на ящике В, в стопке 3 — ящик A на ящике Г, в стопке 4 — ящик Б на ящике Г (см. рисунок).
Вам необходимо переставить ящики так, чтобы в каждой стопке были ящики одного вида (порядок не важен), например, все ящики вида А могут оказаться в стопке 2, все ящики вида Б — в стопке 4 и т.д.
При помощи погрузчика вы можете взять верхний ящик из одной стопки и поставить его поверх другой стопки. Например, если переставить ящик из стопки 1 в стопку 2, то получится следующее расположение:
Инструкцию для погрузчика будем записывать в виде двух чисел. Первое число — номер стопки, из которой берётся ящик, второе число — номер стопки, в которую перемещается ящик. Пример перемещения выше будет записываться как «1 2».
Одно перемещение выполняется за одну минуту, но у вас есть два погрузчика, и если они не мешают друг другу, то могут выполнять два перемещения одновременно.
У одновременно выполняемых перемещений все номера стопок (как начальных, так и конечных) должны быть различны. Например, можно одновременно выполнить перемещения «1 3» и «4 2», но нельзя одновременно выполнить перемещения «1 3» и «3 2», потому что стопка номер 3 участвует в каждом из этих перемещений.
Запишите последовательность перемещений, в результате выполнения которых ящики будут расставлены нужным образом. В каждой строке записывайте ровно одно перемещение (два числа). Если два перемещения выполняются одновременно, они также записываются в двух соседних строках, например:
1 3
4 2
Вам необходимо переставить ящики нужным образом за минимальное время, количество перемещений минимизировать необязательно. Чем меньше времени будет требоваться вашему алгоритму для решения задачи, тем лучше.
Стражники
Город представляет собой семь параллельных улиц, пересекающихся с семью улицами, перпендикулярными им. Таким образом, в городе 49 перекрёстков — на каждой улице по семь.
На каждом перекрёстке можно поставить стражника. Улица считается безопасной, если на её перекрёстках стоит не менее трёх стражников.
Расставьте стражников на перекрёстках так, чтобы все улицы были безопасными. Чем меньше стражников вам понадобится для этого, тем лучше.
Ремонт дороги
Трансконтинентальная автотрасса представляет собой дорогу, на которой расположены 100 населённых пунктов, пронумерованных числами от 1 до 100 (т.е. города разбивают дорогу на отдельные участки, дорога начинается в городе 1 и заканчивается в городе 100). Для организации ремонта дороги провели конкурс, в котором приняло участие 13 компаний. Каждая i-я компания предоставила заявку, согласно которой она может выполнить ремонт дороги от города номер ai до города номер bi. Вот какие заявки были поданы компаниями:
Номер компании Начало участка Конец участка
1 82 100
2 28 60
3 47 76
4 8 31
5 49 63
6 6 37
7 19 51
8 69 85
9 1 23
10 58 72
11 1 14
12 67 100
13 25 54
Вам необходимо выбрать несколько компаний так, чтобы они смогли произвести ремонт всей дороги целиком, то есть объединение участков, которые могут отремонтировать выбранные компании, давало бы всю дорогу. Выбранные участки могут пересекаться. Например, допустимо выбрать две компании, первая из которых отремонтирует участок от города 1 до города 60, а вторая компания — от города 40 до города 100 (если бы такие заявки были поданы компаниями).
Для уменьшения бюрократических сложностей вам необходимо выбрать для проведения ремонта как можно меньше компаний.
Слова
В алфавите некоторого племени всего две буквы: «А» и «У». Каждое слово их языка может содержать обе эти буквы или только одну из них, но при этом в слове не может быть больше двух букв «А», не может быть больше двух букв «У», а также две буквы «А» не могут идти в слове подряд.
Выпишите все слова языка этого племени.
Олимпиада
Одноклассники Аня, Боря, Ваня и Галя участвовали в олимпиадах по математике, русскому языку, информатике и английскому языку. Известно, что:
Все участвовали в разных олимпиадах.
Каждый выбрал по одному предмету.
Ни Аня, ни Ваня не участвовали в олимпиаде по математике.
Боря любит изучать языки, но не любит точные науки.
Подруга Вани участвовала в олимпиаде по английскому языку.
Определите, кто в какой олимпиаде участвовал.
- Аня
- Боря
- Ваня
- Галя
- Английский язык
- Информатика
- Математика
- Русский язык
